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Funciones de dos variables en la Economía

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Las funciones de varias variables son necesarias para explicar procesos complejos en muchas situaciones de la vida real. Por ejemplo, la cantidad de dinero que obtenemos al final del año si invertimos en bonos dependerá del tipo de interés, pero también de la cantidad invertida. La demanda de un bien depende del precio.  Este tipo de funciones son importantes en economía porque muchas variables de interés con las que usualmente trabajamos están funcionalmente relacionadas con otras variables

Una función de valor real, f, de x, y, z  es una regla para obtener un nuevo número, que se escribe como f (x, y, z), a partir de los valores de una secuencia de variables independientes (x, y, z).

Funciones de dos variables

Una función de dos variables es una regla de correspondencia que asigna a cada pareja de números reales (x, y) un y sólo un número real z. Es decir, La gráfica de una función de dos variables es el conjunto de puntos con coordenadas (x, y, z) en donde (x, y) está en el dominio de f y z = f (x, y). Este conjunto de puntos forma una superficie en el espacio tridimensional.

El conjunto de parejas ordenadas para las cuales la regla de correspondencia dá un número real se llama dominio de la función. El conjunto de valores z que corresponden a los pares ordenados se llama imagen o contra dominio.

Las variables x, y se llaman variables independientes, y z se llama variable dependiente.

Con frecuencia se escribe z, f, x, y para hacer explícito el valor tomado por f en un punto(x, y). En este caso se dice que x, y son las variables independientes, y z es la variable dependiente. La definición dada indica que el dominio es una parte o subconjunto del plano cartesiano y la función le asigna a cada punto de ese segmento de plano, un único número real comprendido en un intervalo de los números reales

Una forma de obtener información sobre el fenómeno descrito por una función de dos variables es estudiar su representación gráfica. Esta no es una tarea sencilla pero disponemos de algunos métodos que permiten hacernos una idea de su comportamiento. Se trata de cortar la gráfica de la función con planos paralelos a los planos coordenados. Empezaremos con planos verticales.

  • Para una función f (x, y), la función que se obtiene al mantener la variable x fija y variando la variable y se llama sección transversal de f con x fija. Análogamente se define una sección transversal de f con y fija.
  • Ejemplo: Vamos a calcular la sección transversal, para x = 2, de la función f(x, y) = x 2 + y 2
  • Solución: la sección transversal es la curva obtenida al cortar la gráfica de f(x, y) con el plano vertical de ecuación x = 2.

Los procesos analíticos que relacionan, de manera muy simple, los resultados de dos o más variables. La idea básica es el conocimiento de la relación existente entre variables. Así, por ejemplo, la cantidad de demanda de un producto es considerada función de su variable precio, los costos de producción son función de la cantidad producida, los gastos de consumo son función del ingreso familiar, etc. En otros casos, hay relaciones que se establecen no sólo entre dos sino entre tres o más variables, como en el caso en que la demanda se considere función del precio, del ingreso familiar, del precio de otros bienes de consumo, etc.

En el Sistema de Información hay una serie de variables que pueden ser analizadas estadísticamente para llegar al establecimiento de ese tipo de relaciones y conclusiones, que son importantes para el planificador; un ejemplo de ello se presenta en este Anexo, al analizarse la relación entre el precio de arrendamiento de la tierra y sus determinantes. Hay que anotar que al establecerse ese tipo de análisis es posible hacer proyecciones de las posibles situaciones futuras, extrapolando la continuidad de esas relaciones, característica ésta que convierte al proceso de análisis en un valioso instrumento de planificación.

El caso más elemental en el análisis de las relaciones económicas es el supuesto de una relación simple entre dos variables, que se postula

Y = f(X)

y que indica que Y es una función o variable dependiente de la variable X.

El segundo paso es la especificación de la forma como esas dos variables se relacionan, en su manera funcional precisa. La más simple de esas es una relación lineal, donde

Y = a + bX

Donde a y b son coeficientes que determinan la intercepción y la pendiente de la función. Otro tipo de relaciones, no necesariamente lineales, pueden ser del tipo

Y = aebX

Y = aXb

y = a + b 1/x

Ahora bien, no todas las relaciones están definidas de manera precisa por las vectas (o curvas) que representan esas relaciones, y hay que introducir elementos estocásticos para los propósitos de análisis y experimentación. Este elemento (u) se establece como condicionante de su utilización y valor cuando X adopta cierta magnitud, convirtiendo a la relación inicial en

Y = a + bX + u.

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