Inecuaciones
Una inecuación es toda desigualdad condicional que se establece entre dos expresiones matemáticas donde existe por lo menos una variable a la que denominaremos incógnita en la que sus dos miembros se relacionan por uno de estos signos:
| < | menor que | 2x ? 1 < 7 |
| ? | menor o igual que | 2x ? 1 ? 7 |
| > | mayor que | 2x ? 1 > 7 |
| ? | mayor o igual que | 2x ? 1 ? 7 |
La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable que la verifica.
La solución de la inecuación se expresa mediante:
- Una representación gráfica.
- Un intervalo.
2x ? 1 < 7
2x < 8 x < 4
(-?, 4)
2x ? 1 ? 7
2x ? 8 x ? 4
(-?, 4]
2x ? 1 > 7
2x > 8 x > 4
(4, ?)
2x ? 1 ? 7
2x ? 8 x ? 4
[4, ?)
Las desigualdades se usan todo el tiempo en el mundo que nos rodea, sólo debemos saber dónde buscar. Encontrar la manera de interpretar el lenguaje de las desigualdades es un paso importante para aprender a resolverlas en contextos cotidianos.
Piensa en las siguientes situaciones: Límites de velocidad en la autopista, pagos mínimos en las tarjetas de crédito, el número de mensajes de texto que puedes enviar desde tu celular cada mes, el tiempo que te toma llegar al trabajo. Todas estas pueden ser representadas como desigualdades matemáticas. Y, de hecho, usas pensamiento matemático cuando consideras éstas situaciones cada día.
Origen
No se sabe exactamente el origen de las inecuaciones pero se cree que se originaron debido al surgimiento de un problema en el cual la respuesta podía ser más de una absoluta, sino que podía contener un grupo de números.
Hacia 1700 a.C., es decir, hace aproximadamente 3700 años, en Mesopotamia y Babilonia ya se sabían resolver ecuaciones de primer y segundo grado. Poco después también eran utilizadas en Egipto. El motivo era resolver problemas relacionados con la repartición de víveres, cosechas y materiales. El papel aún no existía y los babilonios escribían sobre tablillas de barro húmedo para que cuando se secara quedara registrado.
Las ecuaciones son esencialmente ACERTIJOS en los que intervienen cantidades de algún tipo. De todas formas, no existía un simbolismo para las ecuaciones tal y como lo tenemos hoy en día.
Fue en 1637, es decir, cuando Descartes inventó la notación algebraica moderna, llamando a las incógnitas de las ecuaciones x, y o z y la notación exponencial como la conocemos hoy en día.
Definición actual de Inecuación:
Es una desigualdad algebraica en la que uno o más de sus miembros aparecen ligados por uno de estos signos:
Los criterios más comunes de clasificación de las inecuaciones son:
Según el número de incógnitas:
- De una incógnita.
- De dos incógnitas.
- De tres incógnitas.
Según la potencia de la incógnita:
- De primer grado o lineal. Cuando el mayor exponente de la incógnita de la inecuación es uno
- De segundo grado o cuadrática. Cuando el mayor exponente de cualquiera de sus incógnitas es dos.
- De tercer grado o cúbica. Cuando el mayor exponente de cualquiera de sus incógnitas es tres.
En las inecuaciones, aparte de los números y las incógnitas (las ), podemos encontrar los siguientes símbolos:
Igual.
Mayor que.
Menor que.
Mayor o igual que.
Menor o igual que.
Con estos símbolos podemos denotar las inecuaciones y también las desigualdades.
Por consiguiente:
Una inecuación es una expresión algebraica en la que se hace la comparación de dos valores, donde podemos encontrar una variable y se pretende que ésta sea resuelta y así poder encontrar los valores posibles de tal que cumpla la inecuación.
En consecuencia, podemos elaborar expresiones del tipo:
(1) 2=2
(2) 3 > 0 > -1
(3) -2 < 5
(4) 4 ? 4
(5) x-1 ? 1
Donde las podemos transcribir como:
(1) dos es igual a dos.
(2) tres es mayor que cero que a su vez es mayor que menos uno.
(3) menos 2 es menor que cinco.
(4) cuatro es mayor o igual que cuatro.
(5) menos uno es menor o igual que uno.
En este caso (1), (2), (3) y (4) son desigualdades y (5) es una inecuación.
Fijémonos en que las expresiones (1), (2), (3) y (4) son ciertas (la expresión (5) no es cierta ni falsa, se tiene que determinar para qué valores de la expresión és cierta).
Propiedades básicas
A continuación vamos a observar algunas de las propiedades de las desigualdades (y de las inecuaciones). Vamos a ver dos propiedades básicas que cumplen las desigualdades y por consiguiente las inecuaciones.
Para este propósito denotaremos las letras A, B y C como tres números cualesquiera.
Propiedad 1: Los números A y B siempre cumplen una de las siguientes afirmaciones:
- A<B
- A=B
- A>B
Ejemplo
Los números A=4 y 8 cumplen la primera afirmación.
Los números A=1 y B=1 cumplen la segunda afirmación.
Los números A=24 y B=-13 cumplen la tercera afirmación.
Propiedad 2: Esta propiedad se refiere a la simetría de las inecuaciones o desigualdades:
Si A<B —– B>A
Si A>B —– B<A
(Nota: el símbolo —— simboliza «entonces». Por ejemplo A<B — B>A, diremos que si A es menor que B entonces B es mayor que A)
Ejemplo
Tomando A=3 Y B=4 y está claro que A<B y que a su vez B>A
Tomando A=7 y B=6 está claro que A>B y que a su vez B<A
Conclusión
El estudio de las inecuaciones logarítmicas sin dudas permite resolver ejercicio no solo de la Matemática porque resulta de gran importancia para la resolución de problemas prácticos ya que son utilizados en diversas áreas, como en las escalas que permiten medir fenómenos como la intensidad del sonido, las escalas de los movimientos sísmicos en la Geología, la datación de restos arqueológicos en la Paleontología y el nivel de acidez de algunos productos por ejemplo.
